BAⅡ-2.3不变子空间与特征向量

前言

这是我关于代数学引论的第一篇笔记，这本前苏联的教材读起来很是困难，其中许多名词，在网上难以搜到，不知道是不是由于中译本的原因，第二卷的翻译有些让人困惑，还拌杂着一些翻译错误，很难读下去，但由于现在并没有最新的英译本（老版本并无第二卷内容），丘维声老先生在上世纪翻译的版本也并不包括第二卷内容，笔者在阅读时自然伴随着不少困难，很多名词解释书中太过晦涩，网上又难以找到，所以很多不得不求助于Chat-Gpt,所以很难保证正确性，书中很多东西涉及高级内容，如本节就包含了泛函的内容，笔者并未学到这里，希望以后学习更多了之后，回首可以看懂柯老的书，并修正笔记。也望请读者不吝赐教，给予我一些建议,联系方式,不胜感激。 # 投影

完全正交组

完全正交组（Complete Orthogonal Set）是线性代数和量子力学中的一个重要概念。它指的是在一个向量空间中，所有向量都两两正交（内积为零），且该组向量能够生成整个空间的任意向量，即它们形成了空间的基底。

定义

• 正交组：一组向量 如果满足 对于 ，则称这组向量是正交的。
• 完全正交组：如果一组正交向量还能够生成整个向量空间，即任意一个向量都可以表示为这些向量的线性组合，那么这组向量就是完全正交组。

数学描述

设V是一个n维向量空间， 是 (V) 中的一组向量。如果对于任意的 (i, j)，有 其中 是克罗内克函数,当时，否则 ，并且 生成了整个空间 V，则称这组向量是完全正交组。

例子

• 标准正交基：在欧几里得空间 中，标准正交基 是最常见的完全正交组，其中 是第 个分量为 1，其余分量为 0 的向量。

等方算子组

等方算子组（Isospectral Operator Group）是量子力学中的一个概念，涉及算子之间的谱（特征值)关系。具体来说，如果一组算子具有相同的谱，即这些算子的特征值集合是相同的，则这些算子被称为等方算子。等方算子组是研究量子系统对称性和谱不变量的一个重要工具。

等方矩阵组

等方矩阵组是等方算子组中算子对应矩阵的集合

不变子空间

不变子空间（Invariant Subspace）是线性代数、泛函分析和量子力学中的一个重要概念。它描述了在某个线性算子或算子族作用下保持不变的向量子空间。

定义

设 是一个向量空间，是定义在上的一个线性算子。子空间称为的一个不变子空间，如果对于中的任意向量, 仍然属于。即： 换句话说,作用在上时，不会将向量送出子空间 。

数学表达

如果是的一个子空间，并且对于任意，有，那么是的一个不变子空间。

举例

1. 对角化算子：假设是一个可对角化的算子，其特征向量构成的空间为 。如果 是由一些特征向量所张成的子空间，则是的一个不变子空间，因为作用在这些特征向量上只会将它们变为标量倍。

2. 希尔伯特空间中的不变子空间：在量子力学中，如果算子作用在一个希尔伯特空间上，子空间是 的不变子空间，那么在中的态矢量在的作用下仍然留在内。

特征向量和特征多项式

特征向量和特征多项式是线性代数中的核心概念，它们用于研究矩阵或线性算子的性质，特别是它们在不同基下的行为。

特征向量

特征向量（Eigenvector）是矩阵或线性算子在某个向量空间中的特殊向量，这些向量在矩阵作用下只会改变大小，而不会改变方向。

定义

给定一个 的方阵和一个非零向量（称为特征向量），如果存在一个标量 (称为特征值)，使得： 那么,被称为矩阵的特征向量, 被称为对应的特征值。

解释

在这种情况下，矩阵 作用在向量 上时，只会将它拉伸或缩短（由特征值决定），但不会改变的方向。这些特征向量和特征值可以帮助揭示矩阵的性质，特别是在对角化和简化问题方面。

定理：设矩阵 的特征值 是互不相同的，那么对应的特征向量 是线性无关的 ## 特征多项式 特征多项式（Characteristic Polynomial）是与一个方阵相关联的多项式，它用于计算矩阵的特征值。相似矩阵的特征多项式相同

定义

对于一个的方阵，特征多项式定义为： 其中 表示行列式， 是的单位矩阵,是一个未知量（通常是特征值）。

解释

特征多项式 是一个次多项式，其根就是矩阵 的特征值。通过求解，可以找到所有的特征值。每个特征值都对应着一个或多个特征向量。 ## 几何重数，代数重数 几何重数（Geometric Multiplicity）是特征值相关的一个重要概念，用于衡量特征值对应的线性独立[特征向量]的数量。它与[[代数重数]]（Algebraic Multiplicity）一起，在分析矩阵或线性算子的特征结构时起着关键作用。

定义

给定一个的方阵和其特征值，与这个特征值对应的几何重数是所有满足 的线性独立特征向量的最大数量。换句话说，几何重数是对应于特征值的特征子空间的维数。 代数重数是特征值作为多项式根的重数。例如，如果特征多项式 中 是一个二重根，那么的的代数重数就是 2。

数学描述

设 是一个的矩阵，特征值的几何重数记作。那么, 是特征空间 的维数。即

几何重数则表示与特征值相关的线性独立特征向量的数目（即特征子空间的维数）。 几何重数总是小于或等于代数重数

可对角化

谱（特征值）

点谱（Point Spectrum）：对应于算子的特征值集合。对于 ，如果存在非零向量 使得 ，那么 是 的一个特征值，并且属于点谱。

谱是较一般的概念，在有限维空间中退化为特征值，详见泛函分析

引理 属于不同特征值的特征向量必然线性无关，且

称n维向量空间V上的线性算子A是可对角化的,如果有基底,对于这个基底,算子A的矩阵取对角形式

定理 具有单谱的算子A是可对角化的

定理 设A是域上有限维向量空间V上的一个线性算子,A可对角化的充要条件是满足下面的两个条件

1. 特征多项式的所有根都在中

2. 每个特征值的几何重数都与自己的代数重数一致 # 不变子空间的存在性

定理 所有复的(相对照地,实的)线性算子A必有1维(相对照地,1维或2维)的不变子空间

复数域上的情况：因为复数域上的特征多项式总能分解为一次因子的乘积，所以总能找到一个特征值和对应的特征向量 ，这构成了一个 1 维的不变子空间。

实数域上的情况：由于实数域上的特征多项式可能有实根或共轭复根，所以 A 要么具有一个 1 维的不变子空间（实根情况），要么具有一个 2 维的不变子空间（共轭复根情况）。 # 共轭线性算子

代数学引论中的定义

背景：

• 给定一个向量空间 ，以及其上的线性算子 ，我们可以考虑线性算子在共轭空间 上的对应关系。
• 是 的对偶空间，它由作用在 上的线性函数组成。

共轭线性算子 ：

• 首先，定义一个映射 和 的乘积 ，其定义为 。
• 然后展示了这个映射的线性性质：对于任意 以及 ，有
• 这说明这个映射是线性的。因此我们可以定义一个新的线性算子 ，作用在 上，使得： 这个公式展示了 的定义，它是与 共轭的线性算子。

总结：

• 是一个从 到 的线性映射，它与 有特定的关系： 通过 和 的对偶关系来定义，使得 与 相等。

普通易接受的定义

共轭线性算子 是线性代数中一个与共轭复数相关的概念，通常用于描述复数域上线性代数结构中的对称性。

定义

给定一个复数域上的线性算子A，其共轭线性算子是通过对A的矩阵表示取共轭复数来定义的。具体来说，如果A的矩阵表示为，那么A的共轭线性算子的矩阵表示为，其中 表示 的复共轭。

性质

1. 共轭性：对于任意的复数和向量，有 其中, 是向量 的元素逐个取共轭后的向量。

2. 特征值：如果是线性算子A的一个特征值，即存在非零向量使得，那么 是的一个特征值，对应的特征向量为 。也就是说，共轭线性算子的特征值是原算子特征值的共轭。

3. 不变性：如果A是实数域上的线性算子（即其矩阵表示中的所有元素都是实数），那么A和 实际上是相等的，因为实数的共轭还是其本身

4. 对称性：在复数域上，共轭线性算子的引入反映了某种对称性，这种对称性在研究复向量空间中的结构时特别重要，例如在量子力学中的某些对称性操作中。

结论

共轭线性算子是通过对原线性算子的矩阵元素取复共轭来定义的，其在复向量空间中具有重要的对称性和应用价值。 # 商算子

商算子 是线性代数中一个重要的概念，特别是在研究线性算子和代数结构的分解时。商算子的概念涉及对一个线性算子在某个不变子空间上的“商空间”进行分析。

定义

设 是一个向量空间， 是一个线性算子。对于一个 的不变子空间 ，定义 商算子 是在商空间 上的线性算子。商空间 的元素是形如 的等价类，其中 。

商算子的构造

1. 商空间：定义商空间 为所有 中元素 与不变子空间 的等价类的集合，即 其中 表示 与 的等价类。

2. 商算子的定义：商算子 是一个从商空间 到自身的线性算子。对于 ，商算子 作用在 上定义为： 这意味着 是 在商空间上的自然扩展。

性质

1. 线性：商算子 是线性的，即对于 和标量 ，有：

2. 商算子的矩阵表示：如果 的矩阵表示在某个基下为 ，那么商算子的矩阵表示可以通过 在 的基下得到，通常需要通过一个合适的基变换来计算。

3. 特征值和谱：商算子的特征值与原算子的特征值有关，但它们通常只涉及到与子空间 无关的部分。因此，商算子的谱通常是原算子在商空间上的特征值。

应用

商算子在许多线性代数和应用数学问题中有用，包括：

• 线性变换的分解：商算子帮助分析线性变换在不变子空间上的行为，从而实现对变换的分解和简化。

• 线性系统：在控制理论和动态系统中，商算子用于研究系统的稳定性和控制特性。

• 模理论：在环和代数的研究中，商算子用于研究模块的商结构和相关性质。

示例

考虑一个向量空间 和一个线性算子 以及 的一个不变子空间 ：

• 设 和 是一个由前两维构成的子空间 。

• 设 是一个 矩阵，作用在 上。

• 商空间 的元素是形如 的等价类，其中 。

• 商算子 作用在 上定义为 。

结论

商算子为分析和理解线性算子在不变子空间上的行为提供了强大的工具，通过构造商空间和商算子，能够简化和分解复杂的线性变换问题。